Übungen zur Vorlesung ”Differentialgeometrie“ im WS 1998/99 Blatt 2 19. Oktober 1998

1 Zeigen Sie, daß folgende Abbildungen wohldefiniert und glatt sind:

(a) Veronese-Abbildung: φ : ℝP^{2} → ℝ^{6}, φ([x_{0}, x_{1}, x_{2}]) = (x_{0}^{2}, x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, x_{0}x_{1}, x_{0}x_{2}, x_{1}x_{2}).

(b) Segre-Abbildung: ψ : ℝP^{2} × ℝP^{2} → ℝP^{8},

ψ([x_{0}, x_{1}, x_{2}], [y_{0}, y_{1}, y_{2}]) = [x_{0}y_{0}, x_{0}y_{1}, …, x_{i}y_{j}, …, x_{2}y_{2}].

2 Zeigen Sie, daß folgende Mengen G Pseudogruppen auf dem ℝ^{n} bilden:

(a) G = Vol = {g ∈ C^{∞} | |det(Dg)| ≡ 1}. Hier bezeichnet Dg die Jacobi-Matrix von g. Vol-Mannigfaltigkeiten heißen differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit Maß.

(b) G = Orient = {g ∈ C^{∞} | det(Dg) > 0}. Orient-Mannigfaltigkeiten heißen orientierte Mannigfaltigkeiten.

(c) Wir zerlegen ℝ^{n} = ℝ^{m} ×ℝ^{k}, n = m+k, und schreiben (x, y) = (x_{1}, …, x_{m}, y_{1}, …, y_{k}) ∈ ℝ^{m+k}.

G = Lin_{k} = {g ∈ C^{∞} | g(x, y) = (g_{1}(x), A(x) · y), A(x) ∈ GL(k), g_{1} lokaler Diffeomorphismus }. In Worten: Wir betrachten die Diffeomorphismen, die linear in y sind. Spezielle Lin_{k}- Mannigfaltigkeiten werden uns als Vektorbündel später noch begegnen.

3 Sei X eine n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit. Sei G die triviale Pseudogruppe auf ℝ^{n}. Zeigen Sie für die folgenden Aussagen die Implikationen (i)⇔(ii)⇒(iii):

(i) X ist homöomorph zu einer offenen Teilmenge des ℝ^{n}.

(ii) X besitzt einen Atlas mit genau einer Karte.

(iii) X besitzt eine G-Struktur.

4 Ein topologischer Raum (X, O) heißt zusammenhängend, falls er nicht in zwei disjunkte offene nichtleere Teilmengen zerlegt werden kann, d. h. aus X = U_{1}∪U_{2}, U_{i} ∈ O, U_{1}∩U_{2} = ∅, folgt U_{1} = ∅ oder U_{2} = ∅. Er heißt wegzusammenhängend, falls sich je zwei Punkte p, q ∈ X durch einen stetigen Weg verbinden lassen, d. h. es gibt eine stetige Abbildung c : [0, 1] → X mit c(0) = p und c(1) = q. Zeigen Sie, daß eine topologische Mannigfaltigkeit genau dann zusammenhängend ist, wenn sie wegzusammenhängend ist. Welche Implikation gilt für alle topologischen Räume?

Abgabe: Montag, 26. Oktober in der Vorlesung

http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo