\documentclass[12pt,a4paper]{article}

\usepackage{german}
\usepackage{amsmath,amssymb}

\pagestyle{empty}
\addtolength{\topmargin}{-1.7cm}
\addtolength{\textheight}{3cm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-1.0cm}
\addtolength{\textwidth}{2.7cm}
\addtolength{\leftmargini}{-0.5cm}
\addtolength{\leftmarginii}{-0.2cm}
\parskip0.5ex
\parindent0em
\frenchspacing
\sloppy

\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Differentialgeometrie"' im  WS 1998/99}

    Blatt 1  \hfill  12.\ Oktober 1998}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\begin{quote}\em
Bitte tragen Sie sich am 12.\ Oktober in der Vorlesung in die Liste der \"Ubungsgruppen ein.
Die Einteilung wird am Mittwoch, den 14.\ Oktober bekanntgegeben.
Am 15.\ Oktober finden bereits zum erstenmal \"Ubungen statt. 
In dieser \"Ubung sollen Fragen zur Topologie gekl\"art werden.
\end{quote}

\a
Bilden Sie f\"ur~$A\subset\mR$ das Innere und den Abschlu\ss,
und zwar bzgl.\ der Standardtopologie, der diskreten Topologie
und der Klumpentopologie auf~$\mR$, wobei
\begin{enumerate}[(a)]
\item $A=[0,1]$,
\item $A=(0,1)$,
\item $A=\mZ$,
\item $A=\mQ$.
\end{enumerate}

\a
Es tragen $\mR^n$ und $\mR^m$ die Standardtopologien.

Zeigen Sie, da\ss{} die Produkttopologie auf
$\mR^n\times \mR^m=\mR^{n+m}$ mit der Standardtopologie \"ubereinstimmt.

\a
Sei $(X,\cO)$ ein topologischer Raum, "`$\sim$"' eine \"Aquivalenzrelation
auf $X$, $X/\sim=\left\{[x]\,|\,x\in X\right\}$ sei die Menge der \"Aquivalenzklassen,
$\pi:X\to X/\sim$, $\pi(x)=[x]$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie, da\ss{} die Quotiententopologie $\cO '$ auf $X/\sim$
tats\"achlich eine Topologie ist.
\item Zeigen Sie: $\pi:X\to X/\sim$ ist stetig.
\item
Sei $(Y,\cO_Y)$ ein weiterer topologischer Raum und $f:X/\sim\;\to Y$ eine Abbildung.
Zeigen Sie:
  $$f:X/\sim \;\to Y \mbox{ ist stetig }\quad\LRA\quad f\circ \pi: X\to Y\mbox{ ist stetig.}$$
\item Sei $X=[0,1]\subset \mR$ mit der Standardtopologie.
Wir definieren
  $$s\sim t \quad\LRA\quad\left\{ 
    \begin{array}{l}
         s=t \mbox{ oder }\\
         s=0 \mbox{ und } t=1,\mbox{ oder}\\
         s=1 \mbox{ und } t=0.
    \end{array}
  \right.$$
Zeigen Sie: $[0,1]/\sim$ mit der Quotiententopologie ist hom\"oomorph 
zu $S^1=\{(x,y)\in \mR^2\,|\,x^2+y^2=1\}$ mit der Standardtopologie.
\end{enumerate}
$
$
\a
 Sei~$(X,{\cal O}_X)$ ein Hausdorff-Raum, sei~$p$ ein weiterer Punkt,
$p\notin X$.
Setze~$X^+:=X\cup\{p\}$. Wir definieren
	$${\cal O}_{X^+}
	:={\cal O}_X\cup\bigl\{\,(X\setminus K)\cup\{p\}
			\bigm|K\subset X\hbox{ kompakt}\,\bigr\}\;.$$
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}
\item $(X^+,{\cal O}_{X^+})$ ist ein topologischer Raum.
\item $X^+$ ist kompakt.
\item $X^+$ ist Hausdorffsch genau dann, wenn $X$ {\em lokalkompakt} ist, d.\thinspace h.\ 
jeder Punkt in $x$ besitzt eine kompakte Umgebung.
\item $(-1,1)^+$ ist hom\"oomorph zu~$S^1$.
\end{enumerate}
Man nennt $X^+$ die {\em Ein-Punkt-Kompaktifizierung} von~$X$.

\vspace\fill
\"Ubungsgruppen:\\
Gruppe 1: Donnerstag 11--13, SR 227, Hermann-Herder-Str.\ 10\\
Gruppe 2: Donnerstag 14--16, SR 403, Eckerstr.\ 1\\[2cm]
Abgabe: Montag, 19. Oktober in der Vorlesung \\
\texttt{\small http://web.mathematik.uni-freiburg.de/home/ammann/diffgeo}
\end{document}









